Appunti di matematica finanziaria per la valutazione degli investimenti (parte 2)

Tra i concetti di matematica finanziaria da conoscere per valutare gli investimenti non possono mancare la rendita e l'ammortamento.
Impossibile per un analista, un consulente finanziario, un trader o chiunque si occupi di finanza, titoli, polizze e finanziamenti ignorarli.

1. Rendita

Per rendita si intende un insieme di prestazioni finanziarie, consecutive e scaglionate nel tempo.
Si tratta, dunque, di un flusso finanziario protratto nel tempo, la cui singola prestazione è definita “rata della rendita” (si pensi, ad esempio, al rimborso di un prestito, un leasing, un mutuo o un’obbligazione).

Le tipologie di rendite oggetto di studio sono:

• Rendite certe
  
  

Sono le rendite per le quali le rate sono fissate a priori nella quantità, nell’ammontare e nelle epoche.

• Rendite aleatorie

Sono quelle rendite, tipiche delle attività assicurative, per le quali le prestazioni finanziarie sono condizionate dal verificarsi di un determinato evento.

• Rendite periodiche

Sono tutte quelle per cui l’intervallo temporale tra le rate successive è costante.

• Rendite aperiodiche

Sono tutte quelle per cui la cadenza temporale è opposta alla precedente.

• Rendite anticipate

Per esse il pagamento delle rate avviene all’inizio del periodo di riferimento.

• Rendite posticipate

Con esse il pagamento delle rate avviene alla fine del periodo di riferimento.

• Rendite temporanee

Il riferimento è a quelle per cui il numero delle rate è finito.

• Rendite perpetue

Si tratta del caso esattamente opposto al precedente, dove il numero delle rate è infinito.

• Rendite costanti

Per esse le rate sono di uguale ammontare.

• Rendite variabili

Caso opposto al precedente, dove le rate sono di diverso ammontare (si pensi, ad esempio, alle rendite indicizzate ad un parametro).

Valutazione di una rendita

Valutare una rendita significa quantificare, in un dato momento, il valore totale dei flussi a cui essa dà diritto. In genere, per la valutazione si sceglie come istante di riferimento il momento iniziale o quello finale di pagamento delle rate: nel primo caso, si ha il valore attuale della rendita, vale a dire la somma di tutti i valori attuali di tutte le rate, nel secondo il montante della rendita, la somma dei montanti. In tali casi si parla di rendita immediata.

Nel caso in cui la valutazione del valore attuale venga fatta in un momento precedente all’inizio della corresponsione delle rate si parla invece di rendita differita.

• Valori di rendite in un orizzonte temporale determinato 

Considerando il caso in cui le rate vengono distribuite per un numero finito di anni n, in un regime di costanza intertemporale dei tassi d’interesse (curva dei tassi piatta), il valore attuale di una rendita è uguale alla sommatoria dei flussi finanziari che la compongono (attualizzati).
Dato i il tasso di attualizzazione, la formula è la seguente:

che può essere riscritta come:

Essa rappresenta il valore attuale di una rendita posticipata immediata di rata R, n anni, al tasso i, in regime di interesse composto.

Nel caso in cui la rendita sia differita di t anni, il valore attuale è:

Per calcolare il valore attuale di una rendita anticipata occorre moltiplicare la formula per il fattore (1+i).

Per quanto riguarda il calcolo del montante di una rendita, allo sconto si sostituisce la capitalizzazione dei flussi di cassa e la formula diventa:

che può essere riscritta come:

L’equazione esprime il montante di una rendita annua posticipata immediata di rata R, di anni n, al tasso i.
Nel caso la rendita fosse anticipata, per calcolare il montante è sufficiente moltiplicare la formula per il fattore (1+i).

• Valori di rendite in un orizzonte temporale indeterminato

Nel caso in cui l’orizzonte temporale sia indeterminato, il valore attuale di una rendita posticipata immediata è:

e, noto il valore attuale di VAp e le relative rate costanti, il tasso di rendimento è dato da:

Nel caso di una rendita perpetua anticipata immediata, la formula diventa:

da cui, noto VAa:

2. Ammortamento dei prestiti

• Ammortamento a rata costante

Si tratta di un piano di rimborso, detto anche ammortamento alla francese, che prevede che le annualità, o rate, corrisposte posticipatamente siano tutte dello stesso ammontare.
Il valore della rata si calcola utilizzando la formula vista per il calcolo del valore attuale di una rendita:

da cui:   

 

Alla fine del t-esimo periodo il debito residuo è:

Dato il tasso di sconto :

il valore della quota capitale al periodo n è:

da cui:

Vista la costanza di R, i pagamenti di un anno devono essere uguali a quelli dell’anno precedente, dunque:

da cui:

,

• Ammortamento a rata decrescente

Si tratta di una metodologia di rimborso, detto ammortamento all’italiana, che prevede la costanza della quote capitali mentre le quote di interesse sono decrescenti.

Appunti di matematica finanziaria per la valutazione degli investimenti (parte 1)

Ai fini della consulenza finanziaria rivestono notevole importanza alcuni fondamentali concetti di matematica finanziaria la cui conoscenza è indispensabile per valutare gli investimenti, sia singolarmente che in termini comparativi.

Con matematica finanziaria s’intende, ricordiamolo, l’insieme di procedimenti, costituiti mediante modelli quantitativi, che permettono di calcolare i termini di scambio tra capitali in differenti momenti temporali.

1. Interesse semplice

In matematica finanziaria si parla di capitalizzazione semplice quando l’interesse I è proporzionale al capitale C e al tempo trascorso t, espresso in anni o frazioni di anno dal momento in cui viene investito C.
L’interesse i espresso in percentuale del capitale C è definito tasso d’interesse semplice.

I = C x i x t

dalla relazione si ricava:

i = I / C x t , C = I / i x t  e t = I / i x C

Il montante diventa:

M = C + I = C + C x i x t = C x (1 + 1 x i x t)

Se il periodo di tempo preso in considerazione è un anno (unitario), la formula si riduce a:

M = C + I = C + i x t = C x (1 + i x t).

La caratteristica di base del regime a capitalizzazione semplice è l’ipotesi che, in caso di investimento con durata diversa da un anno, gli interessi maturati sul capitale investito non vengono reinvestiti.

2. Interesse composto

L’investimento degli interessi man mano maturati nei vari periodi allo stesso tasso è la caratteristica, invece, del regime di capitalizzazione lineare composta.

L’interesse I che traduce la relazione tra il montante finale e il capitale iniziale è definito interesse composto.

In altri termini, se

M₁ = C x (1 + i)

M₂ = M₁ x (1 +i) = C x (1 +i) x (1 +i) = C x (1 +i)²

Considerando n periodi:

Mₙ = C x (1 +i)ᷠ

da cui: 

i = (Mₙ /C)¹/ⁿ - 1 ,  C = Mₙ / (1 +i)ⁿ

Ricordando che  I = M - C , l’interesse composto I maturato dopo n periodi è:

I = C x [(1 +i)ⁿ - 1]

La caratteristica di base del regime di capitalizzazione composta è l’ipotesi che l’intero montante, e non solo il capitale, venga reinvestito ad ogni scadenza.
Per durate superiori all’anno (o all’unità temporale), il regime composto genera, dunque, un montante superiore a quello del regime semplice.

3. Capitalizzazione frazionata

La capitalizzazione frazionata viene utilizzata per calcolare l’interesse, il montante e il tasso d’interesse nei casi in cui il periodo di tempo complessivamente considerato sia frazionato in più lassi di tempo di uguali durata (di solito, per frazioni di anno).
Il tasso d’interesse applicato nei singoli periodi (“tasso periodale”) è dato, in genere, dal rapporto tra il tasso annuo convertibile k volte l’anno e il numero k dei periodi:

Tasso periodale = Tasso annuo / k

Mₙ = Mₙ₋₁ x (1 +i/k)

4. Interessi equivalenti

Quando nella valutazione di diversi investimenti è necessario confrontare alternative regolate dai due diversi regimi, semplice e composto, è possibile utilizzare la formula che determina, partendo da un tasso d’interesse semplice iₛ , il tasso d’interesse equivalente che si determinerebbe in regime di capitalizzazione composta:

iₑ = (1 + iₛ x t)¹/ᵗ -1

Nel caso in cui si intenda valutare il rendimento reale di un investimento di cui si conosca il tasso di capitalizzazione frazionata, la formula diventa:

i = (1 + iₖ)ᵏ - 1

e volendo ricavare, invece, il tasso frazionato:

iₖ = (1 + i)¹/ᵏ - 1

5. Valore attuale

Conoscendo il tasso d’interesse i , è possibile calcolare il valore attuale (o valore scontato) di un capitale noto M che si renderà disponibile in futuro.

In regime di capitalizzazione semplice l’espressione che consente di calcolare il valore attuale V si ottiene attraverso la formula inversa di:

M = C + i x t , vale a dire:

V = M / (1+i)

In regime di capitalizzazione composta il valore attuale si ottiene mediante la formula inversa di:

Mₙ = C x (1 +i)ᵗ , cioè:

V = M / (1 +i)ᵗ

Quest’ultima consente di valutare la redditività di più investimenti con capitali finali ed orizzonti temporali diversi attraverso il confronto del rispettivo valore attuale.

La formula è molto utilizzata, soprattutto per valutare la convenienza dell’acquisto di titoli a reddito fisso in regime di capitalizzazione composta (BoT e zero coupon bond).

6. Valore nominale e valore reale

Il valore reale e il valore nominale indicano, il primo, l’insieme dei beni che si possono acquistare con una somma di denaro e, il secondo, l’ammontare della somma stessa.
Sono due concetti la cui importanza viene spesso ribadita quando si discute di un parametro come l’inflazione e dell’impatto di questa sulla moneta, i beni reali, il risparmio, i titoli finanziari e i rispettivi mercati.

Nel caso di aumento dell’inflazione, infatti, il valore reale della moneta circolante del Paese che ha visto aumentare l’indice dei prezzi diminuisce nel tempo, mentre il suo valore nominale rimane costante; nel mercato dei beni accade esattamente il contrario e per le attività finanziarie il valore reale aumenta se il tasso d’interesse nominale è superiore all’inflazione.
Ne consegue che il rendimento reale di un titolo, tenuto conto del tasso d’inflazione atteso 𝛑 , è:

R = i - 𝜋

Il valore nominale di un capitale futuro M, dato il valore reale di un capitale passato C e t a rappresentare il tempo espresso in anni o frazioni di anno, può essere calcolato con la seguente formula:

M = C x (1 + 𝜋)ᵗ

Inversamente, il valore reale di una capitale futuro M con lo stesso valore nominale di un capitale presente C può essere calcolato con la formula:

M = C / (1 + 𝜋)ᵗ

Tenendo conto anche del tasso d’interesse, essa diventa:

M = C x (1 +i /1 + 𝜋)ᵗ

Con essa è possibile, dunque, determinare il valore reale (deprezzato dell’effetto inflattivo) di

un’attività finanziaria che rende un tasso d’interesse i ed è soggetta ad un tasso d’inflazione 𝜋. (continua)

Liquidità e Ue: cosa sono gli eurobond e perchè non sono mai partiti

Si discute di Eurobond dal lontano 2011, quando la crisi dei debiti sovrani scoppiata sull’onda del crack Lehman Brothers stava assumendo dimensioni serie e connotati drammatici per l’economia della vecchia Europa e la tenuta dei Paesi dai conti più barcollanti, e con il prolungarsi del dibattito comunitario sul Mes sono ritornati in auge come e, forse, più di allora: ma cosa sono e perchè dividono così tanto i vari membri dell’Unione?

Gli Eurobond altro non sono che titoli di debito, obbligazioni del debito pubblico dei Paesi facenti parte dell’eurozona, da emettere attraverso un’apposita agenzia dell’Unione europea, la cui solvibilità sarebbe garantita congiuntamente da tutti gli Stati membri mediante l’intervento della Banca europea degli investimenti (Bei) o di altro istituto di credito, purchè non sia la Bce, e i cui oneri verrebbero condivisi tra tutti i soggetti (mutualizzazione).

In altri termini, gli E-bond rappresenterebbero un potenziale meccanismo solidale di distribuzione del debito su base europea la cui solvibilità sarebbe garantita dall’insieme dei membri dell’Ue anche nel caso in cui un singolo Stato non riuscisse a ripagare il suo debito.

Fondo salva-Stati: cos’è il Meccanismo Europeo di Stabilità (MES) e come funziona

Il Meccanismo Europeo di Stabilità (MES) è un organismo internazionale a carattere regionale nato come fondo monetario europeo per garantire la stabilità finanziaria dell’eurozona.

Istituito con le modifiche apportate all’art. 113 del Trattato di Lisbona deliberate dal Parlamento europeo il 23 marzo 2011 e ratificate dal Consiglio il 25 marzo 2011, è il Fondo salva-Stati cui compete sostenere i Paesi membri che versano in situazioni di crisi e potenziale default in sostituzione del Fondo europeo di stabilità finanziaria e del Meccanismo europeo di stabilizzazione finanziaria.

La sua entrata in vigore, prevista inizialmente per la metà del 2013, è stata anticipata dal Consiglio europeo del 9 dicembre 2011 al luglio del 2012 a causa dell’aggravarsi della crisi dei debiti sovrani e il sempre più acutizzarsi del rischio default delle economie periferiche dell’Unione.
Le disponibilità monetarie alla sua entrata in vigore ammontavana a 650 miliardi di euro, compresisi dei quasi 300 miliardi residui dai fondi temporanei istituiti per salvare dall’insolvenza Irlanda e Portogallo.

In realtà, tuttavia, l’attuazione della riforma è rimasta sospesa per quasi due mesi in attesa della pronuncia della corte costituzionale della Germania sulla compatibilità del MES con l’ordinamento tedesco.
Nodo sciolto il 12 settembre 2012 con la richiesta da parte della corte dell’introduzione di alcune limitazioni atte ad eliminare i contrasti tra il nuovo organismo e l’ordinamento costituzionale della locomotiva d’Europa.