Appunti di matematica finanziaria per la valutazione degli investimenti (parte 2)

Tra i concetti di matematica finanziaria da conoscere per valutare gli investimenti non possono mancare la rendita e l'ammortamento.
Impossibile per un analista, un consulente finanziario, un trader o chiunque si occupi di finanza, titoli, polizze e finanziamenti ignorarli.

1. Rendita

Per rendita si intende un insieme di prestazioni finanziarie, consecutive e scaglionate nel tempo.
Si tratta, dunque, di un flusso finanziario protratto nel tempo, la cui singola prestazione è definita “rata della rendita” (si pensi, ad esempio, al rimborso di un prestito, un leasing, un mutuo o un’obbligazione).

Le tipologie di rendite oggetto di studio sono:

• Rendite certe
  
  

Sono le rendite per le quali le rate sono fissate a priori nella quantità, nell’ammontare e nelle epoche.

• Rendite aleatorie

Sono quelle rendite, tipiche delle attività assicurative, per le quali le prestazioni finanziarie sono condizionate dal verificarsi di un determinato evento.

• Rendite periodiche

Sono tutte quelle per cui l’intervallo temporale tra le rate successive è costante.

• Rendite aperiodiche

Sono tutte quelle per cui la cadenza temporale è opposta alla precedente.

• Rendite anticipate

Per esse il pagamento delle rate avviene all’inizio del periodo di riferimento.

• Rendite posticipate

Con esse il pagamento delle rate avviene alla fine del periodo di riferimento.

• Rendite temporanee

Il riferimento è a quelle per cui il numero delle rate è finito.

• Rendite perpetue

Si tratta del caso esattamente opposto al precedente, dove il numero delle rate è infinito.

• Rendite costanti

Per esse le rate sono di uguale ammontare.

• Rendite variabili

Caso opposto al precedente, dove le rate sono di diverso ammontare (si pensi, ad esempio, alle rendite indicizzate ad un parametro).

Valutazione di una rendita

Valutare una rendita significa quantificare, in un dato momento, il valore totale dei flussi a cui essa dà diritto. In genere, per la valutazione si sceglie come istante di riferimento il momento iniziale o quello finale di pagamento delle rate: nel primo caso, si ha il valore attuale della rendita, vale a dire la somma di tutti i valori attuali di tutte le rate, nel secondo il montante della rendita, la somma dei montanti. In tali casi si parla di rendita immediata.

Nel caso in cui la valutazione del valore attuale venga fatta in un momento precedente all’inizio della corresponsione delle rate si parla invece di rendita differita.

• Valori di rendite in un orizzonte temporale determinato 

Considerando il caso in cui le rate vengono distribuite per un numero finito di anni n, in un regime di costanza intertemporale dei tassi d’interesse (curva dei tassi piatta), il valore attuale di una rendita è uguale alla sommatoria dei flussi finanziari che la compongono (attualizzati).
Dato i il tasso di attualizzazione, la formula è la seguente:

che può essere riscritta come:

Essa rappresenta il valore attuale di una rendita posticipata immediata di rata R, n anni, al tasso i, in regime di interesse composto.

Nel caso in cui la rendita sia differita di t anni, il valore attuale è:

Per calcolare il valore attuale di una rendita anticipata occorre moltiplicare la formula per il fattore (1+i).

Per quanto riguarda il calcolo del montante di una rendita, allo sconto si sostituisce la capitalizzazione dei flussi di cassa e la formula diventa:

che può essere riscritta come:

L’equazione esprime il montante di una rendita annua posticipata immediata di rata R, di anni n, al tasso i.
Nel caso la rendita fosse anticipata, per calcolare il montante è sufficiente moltiplicare la formula per il fattore (1+i).

• Valori di rendite in un orizzonte temporale indeterminato

Nel caso in cui l’orizzonte temporale sia indeterminato, il valore attuale di una rendita posticipata immediata è:

e, noto il valore attuale di VAp e le relative rate costanti, il tasso di rendimento è dato da:

Nel caso di una rendita perpetua anticipata immediata, la formula diventa:

da cui, noto VAa:

2. Ammortamento dei prestiti

• Ammortamento a rata costante

Si tratta di un piano di rimborso, detto anche ammortamento alla francese, che prevede che le annualità, o rate, corrisposte posticipatamente siano tutte dello stesso ammontare.
Il valore della rata si calcola utilizzando la formula vista per il calcolo del valore attuale di una rendita:

da cui:   

 

Alla fine del t-esimo periodo il debito residuo è:

Dato il tasso di sconto :

il valore della quota capitale al periodo n è:

da cui:

Vista la costanza di R, i pagamenti di un anno devono essere uguali a quelli dell’anno precedente, dunque:

da cui:

,

• Ammortamento a rata decrescente

Si tratta di una metodologia di rimborso, detto ammortamento all’italiana, che prevede la costanza della quote capitali mentre le quote di interesse sono decrescenti.