Con matematica finanziaria s’intende, ricordiamolo, l’insieme di procedimenti, costituiti mediante modelli quantitativi, che permettono di calcolare i termini di scambio tra capitali in differenti momenti temporali.
Interesse semplice
In matematica finanziaria si parla di capitalizzazione semplice quando l’interesse I è proporzionale al capitale C e al tempo trascorso t, espresso in anni o frazioni di anno dal momento in cui viene investito C.
L’interesse i espresso in percentuale del capitale C è definito tasso d’interesse semplice.
dalla relazione si ricava:
i = I / C x t , C = I / i x t e t = I / i x C
Il montante diventa:
M = C + I = C + C x i x t = C x (1 + 1 x i x t)
Se il periodo di tempo preso in considerazione è un anno (unitario), la formula si riduce a:
M = C + I = C + i x t = C x (1 + i x t).
La caratteristica di base del regime a capitalizzazione semplice è l’ipotesi che, in caso di investimento con durata diversa da un anno, gli interessi maturati sul capitale investito non vengono reinvestiti.
Interesse composto
L’investimento degli interessi man mano maturati nei vari periodi allo stesso tasso è la caratteristica, invece, del regime di capitalizzazione lineare composta.
L’interesse I che traduce la relazione tra il montante finale e il capitale iniziale è definito interesse composto.
In altri termini, se
M₂ = M₁ x (1 +i) = C x (1 +i) x (1 +i) = C x (1 +i)²
Considerando n periodi:
da cui:
i = (Mₙ /C)¹/ⁿ - 1 , C = Mₙ / (1 +i)ⁿ
Ricordando che I = M - C , l’interesse composto I maturato dopo n periodi è:
La caratteristica di base del regime di capitalizzazione composta è l’ipotesi che l’intero montante, e non solo il capitale, venga reinvestito ad ogni scadenza.
Per durate superiori all’anno (o all’unità temporale), il regime composto genera, dunque, un montante superiore a quello del regime semplice.
Capitalizzazione frazionata
La capitalizzazione frazionata viene utilizzata per calcolare l’interesse, il montante e il tasso d’interesse nei casi in cui il periodo di tempo complessivamente considerato sia frazionato in più lassi di tempo di uguali durata (di solito, per frazioni di anno).
Il tasso d’interesse applicato nei singoli periodi (“tasso periodale”) è dato, in genere, dal rapporto tra il tasso annuo convertibile k volte l’anno e il numero k dei periodi:
Tasso periodale = Tasso annuo / k
Mₙ = Mₙ₋₁ x (1 +i/k)
Interessi equivalenti
Quando nella valutazione di diversi investimenti è necessario confrontare alternative regolate dai due diversi regimi, semplice e composto, è possibile utilizzare la formula che determina, partendo da un tasso d’interesse semplice iₛ , il tasso d’interesse equivalente che si determinerebbe in regime di capitalizzazione composta:
iₑ = (1 + iₛ x t)¹/ᵗ -1
Nel caso in cui si intenda valutare il rendimento reale di un investimento di cui si conosca il tasso di capitalizzazione frazionata, la formula diventa:
i = (1 + iₖ)ᵏ - 1
e volendo ricavare, invece, il tasso frazionato:
iₖ = (1 + i)¹/ᵏ - 1
Valore attuale
Conoscendo il tasso d’interesse i , è possibile calcolare il valore attuale (o valore scontato) di un capitale noto M che si renderà disponibile in futuro.
In regime di capitalizzazione semplice l’espressione che consente di calcolare il valore attuale V si ottiene attraverso la formula inversa di:
M = C + i x t , vale a dire:
V = M / (1+i)
In regime di capitalizzazione composta il valore attuale si ottiene mediante la formula inversa di:
Mₙ = C x (1 +i)ᵗ , cioè:
V = M / (1 +i)ᵗ
Quest’ultima consente di valutare la redditività di più investimenti con capitali finali ed orizzonti temporali diversi attraverso il confronto del rispettivo valore attuale.
La formula è molto utilizzata, soprattutto per valutare la convenienza dell’acquisto di titoli a reddito fisso in regime di capitalizzazione composta (BoT e zero coupon bond).
6. Valore nominale e valore reale
Il valore reale e il valore nominale indicano, il primo, l’insieme dei beni che si possono
acquistare con una somma di denaro e, il secondo, l’ammontare della somma stessa.
Sono due concetti la cui importanza viene spesso ribadita quando si discute di un parametro
come l’inflazione e dell’impatto di questa sulla moneta, i beni reali, il risparmio, i titoli
finanziari e i rispettivi mercati.
Nel caso di aumento dell’inflazione, infatti, il valore reale della moneta circolante del Paese che
ha visto aumentare l’indice dei prezzi diminuisce nel tempo, mentre il suo valore nominale
rimane costante; nel mercato dei beni accade esattamente il contrario e per le attività
finanziarie il valore reale aumenta se il tasso d’interesse nominale è superiore all’inflazione.
Ne consegue che il rendimento reale di un titolo, tenuto conto del tasso d’inflazione atteso 𝛑 , è:
R = i - 𝜋
Il valore nominale di un capitale futuro M, dato il valore reale di un capitale passato C e t a rappresentare il tempo espresso in anni o frazioni di anno, può essere calcolato con la seguente formula:
M = C x (1 + 𝜋)ᵗ
Inversamente, il valore reale di una capitale futuro M con lo stesso valore nominale di un capitale presente C può essere calcolato con la formula:
M = C / (1 + 𝜋)ᵗ
Tenendo conto anche del tasso d’interesse, essa diventa:
M = C x (1 +i /1 + 𝜋)ᵗ
Con essa è possibile, dunque, determinare il valore reale (deprezzato dell’effetto inflattivo) di
un’attività finanziaria che rende un tasso d’interesse i ed è soggetta ad un tasso d’inflazione 𝜋. (continua)
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